什么是凯利(Kelly)准则?Kelly 公式及其仓位管理的模式是怎样的?

1 Kelly 公式是什么

Kelly 公式是 Kelly通过研究博彩者在追求财富长期增长最大化的目标下如何选择投注而得到的。Kelly的研究结果显示，在一个可以进行无限次投注的博彩游戏中，博彩者每次按其财富的某一比率 (被称之为最优投注比率) 进行投注，可以使得自己的财富长期增长最大。当然，该模型假设博彩者的财富是无限可分的，且所有财富 (包括本金和利润) 都可以用于博彩游戏。将 Kelly 公式应用到股票市场，计算出其最优投注比率，就是最优仓位。

考虑到股票价格的波动特点，其中需要假设: 

(1) 投资者的目标是使资产长期增长率最大化。

(2) 每期投资仅在股票资产 (可以是个股也可以是股票组合或指数) 和现金之间选择。

(3) 股票价格变动遵循几何布朗运动，这意味着股票短期收益率近似服从正态分布，每期收益率独立同分布。

2 Kelly 公式及其仓位管理

(一) Kelly 公式的基本模型

假设一个博彩者的初始财富为 W₀，该博彩者可以将其财富的一部分不断重复地投入到一个风险游戏中。每轮游戏中，博彩者赢的概率为 p，输的概率为 1-p，如果获胜，博彩者可以得到投注的两倍，否则失去投注。若每轮游戏中博彩者的收益率为 R_t，则博彩者赢时 R_t = 1，博彩者输时 R_t = -1。若博彩者每次下注比率 (或投入比率，我们称之为仓位) 为 f，那么 T 期期末投资者的财富 W_T为:

由于每轮游戏中博彩者的收益率Ｒ_t可以视为独立同分布于两点分布 (1,-1; p,1-p)，因而博彩者的资产长期指数增长率为

最大化式 (2)获得最优仓位为

f* = (2p－1) ×100%       (3)

式(3) 显示，如果赢的概率大于 1 /2，博彩者就下注，其最优下注比率随着概率增加而增加。 譬如，赢的概率 p = 0. 6000 时最优下注比率为 20%，此时博彩者的资产长期指数增长率为 2. 03%。

 (二) 扩展模型: Kelly 公式的扩展

 将 Kelly 公式应用到股票市场，同时考虑到股票市场的特点，假设投资者每期的收益率独立同分布于两点分布 (r_w，－r₁; p，1-p)，则投资者的资产长期指数增长率为:

最大化式 (4)可以得到最优仓位为:

f* =[pr_w -(1-p)r₁]/r_w r₁×100% =E(R) /r_w r₁×100%        (5)

式 (5) 显示，如果期望收益为正，投资者应该做多;如果期望收益为负，投资者应该做空。投资者的最优仓位大小与期望收益正相关，与 r_w r₁负相关。实际上，由于该两点分布的方差为 Var(R)=p(1-p)(r_w +r₁)²，可以证明，当 p 和 E(R)固定不变的情况下，r_w r₁会随着方差Var(R)增加而增大。因此，可以推出，该两点分布的方差越大，最优仓位 f* 越小。这意味着，投资者的最优仓位大小与两点分布的方差负相关。

考虑到股票收益率服从两点分布的假设较为特殊，将假设改为常用的假设: 股票价格 S 的变动遵循几何布朗运动，即 dS =μSdt+σSdz，在此假设下股票价格服从对数正态分布，股票的短期收益率近似服从正态分布 N (μ-σ²/2,σ)。考虑一个由股票和无风险资产组成的组合，其仓位(或投资比率) 分别为 f 和 1-f，无风险收益率记为 r，则投资者的资产长期指数增长率为:

g = fμ-1 /2(fσ)²+(1-f)r             (6)

最大化式(6) 可以得到最优仓位为:

f* = (μ-r)/σ²×100%                   (7)

基于式 (7)，可以从理论上进一步证明了最优仓位与股票收益率的期望值正相关，与股票收益率的方差负相关。这表明，在收益率的方差不变的条件下，预期收益越高，最优仓位越大，投资者的资产长期增长速度就越快; 在期望收益率不变的条件下，收益率的方差越大，最优仓位越小，投资者的资产长期增长速度就越快。投资者应根据对未来收益率及其波动的预期，来决定做多还是做空，是加仓还是减仓，是提高杠杆还是降低杠杆.